60年前数学大师没解开的难题，被一位牛津博士生搞定了

AIGC动态10小时前发布 almosthuman2014

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文章摘要

加法作为最基本的数学运算之一，看似简单，却隐藏着深奥的未解之谜。数学家们长期以来一直在探索加法的极限，特别是关于“无和集”的性质。无和集指的是一个整数子集，其中任意两个元素的和不属于该集合本身。例如，奇数集合就是一个典型的无和集，因为任意两个奇数相加得到偶数，而偶数不在奇数集合中。

1965年，传奇数学家保罗·爱多士提出了一个关于无和集普遍性的问题：一个包含N个整数的集合中，最大的无和子集究竟能有多大？这个问题看似简单，却困扰了数学界数十年。爱多士证明，任何包含N个整数的集合都必然存在一个至少包含N/3个元素的无和子集。然而，他进一步猜想，随着集合规模N的增大，最大无和子集的规模将显著超过N/3，并且其偏差值会无限增长。这一猜想被称为无和集猜想。

尽管爱多士的证明基于平均值原理，但数学家们普遍认为，最大无和子集的规模理应远超平均值。然而，在接下来的几十年里，无人能够突破爱多士的结论。直到1990年，数学家们才取得微小的进展，证明了最大无和子集的规模至少为(N+1)/3。1997年，数学家让·布尔甘进一步将这一界限提升至(N+2)/3，并提出了一个关键思想：如何证明最大无和子集的规模可以任意超越该界限。然而，布尔甘未能完善细节，将其转化为完整证明。

2024年，牛津大学博士生本杰明·贝德特终于破解了这一难题。他证明了对于任意包含N个整数的集合，存在一个无和子集，其大小至少为N/3 + log(log N)。这一结果首次严格证明了最大无和子集的大小确实会超过N/3，并随N增长而增大，从而解决了爱多士的猜想。贝德特的证明融合了不同领域的技巧，不仅揭示了无和集的隐藏结构，还为其他各类数学场景提供了新见解。

贝德特的突破性成果不仅解答了最大无和子集是否会无限大于N/3这一问题，还为小Littlewood范数集合提供了全新认知。这类集合是分析学中的基础对象，却极难研究。贝德特的成果帮助数学家更深入理解了其结构特征，并为未来的研究开辟了新的方向。

贝德特的证明不仅解决了困扰数学界数十年的难题，还为加法和整数集合的深入研究提供了新的视角。尽管关于无和子集的许多未解之谜仍然存在，但贝德特的成果无疑为这一领域的研究奠定了坚实的基础。