文章摘要
【关 键 词】 组合数学、算术级数、数学猜想、密度增量、突破进展
组合数学领域长久以来面临的一个难题——完全无序的数学不可能性，最近由UCLA的华人研究生James Leng和两位MIT研究生Ashwin Sah、Mehtaab Sawhney取得了突破性进展。他们的研究成果不仅强化了陶哲轩的一项成果，还进一步推动了该领域的研究，这是数十年来的首次重大进展。
算术级数问题，即一系列等差数列，虽然看似简单，却隐藏着复杂的数学结构。1936年，数学家Paul Erdős和Pál Turán提出了一个猜想：任何包含整数非零分数的集合，无论多么小的比例，都一定包含任意长的算术级数。这个猜想在1975年由Endre Szemerédi证明，他的工作为后来的研究提供了基础。
Yufei Zhao等数学家将Szemerédi的结果应用于有限数集，探讨在不可避免地包含一个被禁止的级数之前，能在起始集合中使用的最大部分。Szemerédi证明了随着集合大小N的增长，这个部分必须缩小到零，但数学家们一直在尝试量化这种情况发生的速度。去年，两位计算机科学家的突破性工作几乎解决了三项级数的问题，但四项或更多项的算术级数问题变得更加棘手。
1990年代，Timothy Gowers提出了一种理论，克服了这种障碍，并因此获得了菲尔兹奖。2001年，他将成果应用于Szemerédi定理，证明了最大集合大小的更好界限。然而，23年来，这个问题没有新的进展，直到Leng、Sah和Sawhney的研究。
Leng在UCLA读研究生时，开始研究Gowers的理论，并希望解决一个相关技巧的问题。尽管其他数学家不看好，Leng坚持研究，并最终取得了突破。Sah和Sawhney看到Leng的工作后，意识到这可能帮助他们在Szemerédi定理上取得进展。几个月后，他们成功地在没有五项技术的情况下，获得了更好的集合大小上限，并扩展到了任意长度的级数。
这项工作证明了对于k≥5，存在c_k> 0，使得r_k(N)的界限得到改进。这个证明基于Gowers U^k-范数逆定理的准多项式界值，以及由Heath-Brown和Szemerédi提出的密度增量策略。此外，他们还利用了Green和陶哲轩提出的Heath-Brown和Szemerédi密度增量策略。
Sah和Sawhney在MIT读本科时就取得了令人印象深刻的成果，发表了57个数学证明，许多都在各个领域取得了深远进展。Sah在2020年发表了关于拉姆齐数的重要成果，改进了双色拉姆齐数的上限。
James Leng、Ashwin Sah和Mehtaab Sawhney的研究不仅打破了长期以来的研究阻碍，还为组合数学领域带来了新的视角和方法。他们的成果得到了数学界的广泛认可和赞誉。
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【原文作者】 新智元
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