文章摘要
【关 键 词】 数学进展、陶哲轩、Erdős问题、自然数级数、迭代逼近
陶哲轩在数学领域取得了新进展，特别是在“自然数倒数之和是否为有理数”的问题上。他证明了一个反直觉的猜想，即存在一个递增的自然数级数ak，使得对任意有理数t，级数和都是有理数。这一发现颠覆了直观认知，因为通常认为要使一个级数的和是有理数很难，更何况还要在任意有理数t的偏移量下保持有理性。
陶哲轩的方法是将问题转化为研究一种集合，然后使用“迭代逼近”方法逐步解决。他与Vjekoslav Kovač合作，将原本只有6页的短论文扩展成了28页的长篇论证。他们首先解释了Ahmes级数的概念，然后表明如果满足aₖ₊₁=O(aₖ²)，即aₖ₊₁比aₖ²增长得慢得多，那么可以找到一个可比较的级数bₖ，和aₖ是渐进关系，且∑(1/bₖ)是有理数。这一部分解决了Erdős问题#263。
陶哲轩进一步展示了一个新的变体结论：如果级数aₖ满足aₖ₊₁=O(aₖ)且∑(1/aₖ)收敛，那么可以找到bₖ，使得bₖ=aₖ+O(1)且∑(1/bₖ)是有理数。这与Erdős问题#264相关。通过迭代逼近，他们最终解决了Erdős问题#266，这是一个更高维度的变体。
Erdős问题#266的起源可以追溯到古埃及时期，当时埃及人在进行分数运算时只使用分子是1的分数，即单分子分数。这一问题由匈牙利数学家Paul Erdős提出，他被誉为20世纪最富有创造力的数学家之一，一生合作了超过500位数学家，发表了约1525篇数学论文。
陶哲轩此前也解决过Erdős提出的其他问题，如2015年他证明了Erdős在20世纪30年代提出的数论猜想“埃尔德什差异问题”。Erdős和陶哲轩的缘分可以追溯到1985年，当时72岁的Erdős去澳大利亚讲学，鼓励了10岁的陶哲轩继续努力。
尽管Erdős问题#266已被陶哲轩解决，但Erdős留下了许多未解决的问题，这些问题涵盖了数论、组合数学、图论、概率论等多个数学领域，目前还有580个问题等待探索。这些问题是Erdős留给数学界的宝贵遗产，激励着每一位数学家，推动数学的进步。
原文和模型
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【原文作者】 量子位
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