近40年前「拉马努金图」概率的赌局，被姚班校友黄骄阳等三位数学家用物理方法终结

AIGC动态1天前发布 almosthuman2014

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文章摘要

在20世纪80年代末，数学家Noga Alon和Peter Sarnak就扩展图的性质展开了一场赌局。扩展图是一种边数较少但高度连通的图，广泛应用于大脑建模、统计分析和纠错码构建。Sarnak认为最优扩展图极为罕见，而Alon则认为它们很常见。这场赌局的焦点在于，随机选择的正则图中，有多少比例是拉马努金图——即达到Alon-Boppana界限的最优扩展图。

扩展图的定义和性质是理解这一争论的关键。扩展图的连通性可以通过其邻接矩阵的第二大特征值来衡量，该值越小，图的连通性越好。1984年，数学家Józef Dodziuk证明了正则图的第二大特征值与图的连通性密切相关。随后，Alon和Ravi Boppana进一步证明，正则图的第二大特征值不可能比某个界限小很多，这个界限被称为Alon-Boppana界限。达到这一界限的图即为最优扩展图。

拉马努金图的构建是Sarnak、Alexander Lubotzky和Ralph Phillips在1988年的一项重要成果。他们利用数论中的技术，构建了达到Alon-Boppana界限的正则图，并将其命名为拉马努金图。然而，关于拉马努金图在正则图中的普遍性，数学家们仍存在分歧。Alon认为拉马努金图在随机正则图中很常见，而Sarnak则认为它们极为罕见。

普遍性猜想的突破为解决这一争论提供了关键工具。物理学家Eugene Wigner在1955年提出，随机矩阵的特征值遵循相同的概率分布，这一猜想被称为普遍性猜想。数学家姚鸿泽及其团队通过研究随机正则图的邻接矩阵，证明了普遍性猜想在这些图中也成立。这一发现使得他们能够计算随机正则图中拉马努金图的比例。

最终答案的揭晓是在2022年，姚鸿泽、黄骄阳和Theo McKenzie通过深入研究循环方程，完成了对普遍性猜想的证明。他们发现，随机正则图中约有69%的图是拉马努金图。这一结果表明，拉马努金图既不算常见，也不算稀有，Alon和Sarnak的赌局最终以双方都不完全正确的方式结束。

这一发现的意义不仅在于解决了数学家们长期以来的争论，还在于进一步拓展了普遍性猜想的适用范围。数学家们希望利用这一新证明中的技术，继续探索随机矩阵和扩展图的性质。与此同时，这一结果也为拉马努金图的研究提供了新的视角，揭示了其在随机正则图中的独特地位。