突破125年世纪难题！北大校友联手科大少年班才子破解希尔伯特第六问题

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文章摘要

1900年，数学大师希尔伯特提出了23个数学难题，其中第六个问题——“物理学的公理化”，被称为数学物理的终极挑战。125年后，北大校友邓煜、中科大少年班马骁与陶哲轩高徒扎赫尔・哈尼终于在这一问题上取得重大突破。他们成功从微观粒子模型推导出宏观气体行为，填补了牛顿力学与玻尔兹曼方程之间的逻辑鸿沟，首次严格证明了从牛顿力学到玻尔兹曼方程的完整过渡。

这一突破不仅为统计力学奠定了更坚实的数学基础，还意外地解答了玻尔兹曼时代遗留的“时间箭头之谜”。问题的核心目标是从弹性碰撞的硬球粒子系统出发，严格推导出流体力学的基本偏微分方程，完成希尔伯特第六问题中从原子论到连续介质运动定律的推导程序。解决该问题分为两步：首先通过“动力学极限”从牛顿定律推导出玻尔兹曼方程，再通过“流体动力学极限”从玻尔兹曼方程推导出流体方程。

在“动力学极限”阶段，邓煜和哈尼最初专注于波系统研究，开发出分解复杂波动模式为简单子模式的数学工具。他们通过“逐次近似法”，将多个波的相互作用拆解为两两或三三波的局部作用，从而简化概率计算。转向粒子系统后，他们发现粒子碰撞与波的干涉本质不同，需重新设计方法以追踪粒子碰撞后的轨迹变化，避免因轨迹复杂性导致的计算爆炸。团队从无限空间气体模型入手，证明“玻尔兹曼方程可由牛顿模型推导”后，将技术迁移至周期性边界条件的盒子环境，通过傅里叶变换将盒子环境中的粒子轨迹转换为无限空间的虚拟轨迹叠加，从而复用无限空间中的碰撞模式分析方法。

在“流体动力学极限”阶段，团队具体推导出了不可压缩纳维-斯托克斯-傅里叶方程组和可压缩欧拉方程，描述流体的速度和密度演化。他们引入克努森数来衡量气体的稀薄程度，判断气体更符合哪种方程的适用条件。借助Chapman-Enskog展开法，科学家们把分子分布函数拆解成不同层级，逐步分析其中的变化。通过玻尔兹曼方程中碰撞满足质量、动量和能量守恒的特性，推导出宏观的守恒定律，并通过熵增原理，将分子层面的变化与宏观流体的能量损耗建立联系。

三位数学家的成果形成了“牛顿力学→统计力学→流体力学”的完整逻辑链，用数学方法严谨地证明了气体在不同尺度下的物理规律之间的联系。这项工作不仅标志着希尔伯特第六问题得到重大突破，还提供了一种对古老悖论严格的数学解决方案。微观层面粒子遵循牛顿定律，时间可逆，而介观和宏观层面的玻尔兹曼方程与纳维-斯托克斯方程时间不可逆，这一矛盾曾令玻尔兹曼同时代人困惑。玻尔兹曼认为虽单个粒子时间可逆，但几乎所有碰撞模式最终使气体扩散，时间不可逆。兰福德在极短时间范围内从数学上证实此直觉，如今三位数学家的成果在更现实情况下进一步确认，从数学角度解决了这一古老悖论。

邓煜、马骁和哈尼三位数学家的背景也值得一提。邓煜本科由北大转学到麻省理工学院取得数学学士学位，博士毕业于美国普林斯顿大学，现任芝加哥大学数学系副教授。马骁于2014年考入中科大少年班，2015学年被华罗庚数学科技英才班录取，是普林斯顿大学博士，现为密歇根大学助理教授。扎赫尔・哈尼则是陶哲轩高徒，于2011年在UCLA获得博士学位，博士论文是在陶哲轩的指导下完成的。