数学真理的极限在哪里？希尔伯特第十问题扩展版得到证明

AIGC动态1天前发布 almosthuman2014

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文章摘要

数学领域中，大卫·希尔伯特在1900年提出的23个问题中，第十问题关于丢番图方程（具有整数系数的多项式方程）的可判定性一直是一个核心议题。希尔伯特梦想着一个完备的数学体系，其中所有数学陈述都能被证明为真或假。然而，库尔特·哥德尔和艾伦·图灵的工作表明，数学中存在不可判定的陈述，即有些数学问题是无法解决的。

希尔伯特第十问题询问是否存在一种算法，能够确定给定的丢番图方程是否有整数解。1970年，Yuri Matiyasevich证明了这个问题是不可判定的，即不存在这样的通用算法。尽管如此，数学家们仍在探索这个问题的边界，特别是在考虑复数解的情况下，每个丢番图方程都有解，使得问题变得可判定。

最近，乌得勒支大学的Peter Koymans和蒙特利尔康考迪亚大学的Carlo Pagano，以及一个独立研究团队，对希尔伯特第十问题进行了扩展，证明了对于整数之外的大量重要数集，同样不存在可确定任意给定的丢番图方程是否有解的通用算法。这些工作不仅让数学家更精确地了解他们能知道什么和不能知道什么，还让他们对数学中最核心的对象之一有了全新的控制水平。

这些新证明的核心是希尔伯特第十问题的一种自然扩展，涉及的丢番图方程的解属于一个与整数密切相关的数字系统，即整数环。数学家猜想，对于每一个整数环，这个问题仍然是不可判定的。为了证明这一点，他们希望追随原始问题的证明脚步，仅涉及整数解的问题。

不可判定性证明通常遵循相同的方法：证明相关问题等价于计算机科学中一个著名的不可判定问题，即停机问题。数学家们希望采用同样的方法来证明该问题扩展的整数环版本，但他们遇到了一个障碍。当允许方程有非整数解时，图灵机和丢番图方程之间的有用对应关系就会瓦解。

然而，Koymans和Pagano通过构建特殊的椭圆曲线，成功地将图灵机（以及停机问题）编码到这些方程中，证明了希尔伯特第十问题对于每个整数环都是不可判定的。这一成果得到了另一个独立团队的新证明的进一步巩固。这些技术可能在其他问题上取得进展，同时对不可判定性终结以及可判定性开始的位置的探索仍在继续。