两位数学家发现素数计数新方法，原来「p²+nq²」形式的素数真有无限多个
文章摘要
【关 键 词】 素数定理、数学进展、Gowers范数、无穷素数、数论应用
数学家们在理解素数的分布模式方面取得了新的进展。牛津大学的Ben Green和哥伦比亚大学的Mehtaab Sawhney证明了一个关于特定形式素数的定理，即存在无穷多个形式为p² + 4q²的素数，其中p和q也必须是素数。这一证明不仅加深了对素数的理解，还展示了数学中不同领域工具的强大潜力。
素数的分布一直是数学家研究的重点。尽管素数看似随机分布，但实际上遵循一定的模式。欧几里得在公元前300年证明了素数数量的无限性，后续数学家在此基础上进一步探索了满足特定条件的素数的无限性。然而，这类定理的证明非常困难。
Green和Sawhney的证明工作始于他们在爱丁堡的一次会议上的相遇。他们决定合作解决罗格斯大学的Friedlander和Iwaniec提出的一个问题，即是否存在无穷多个形式为p² + 4q²的素数。这个问题的解决需要对素数进行更精细的控制。
在证明过程中，Green和Sawhney采用了一种迂回的方法。他们首先考虑了一种稍微弱一些的版本，即被平方的数只需“大致粗略”是素数。粗略素数比真正的素数更容易找到，因为它们的分布随机性更低。通过分析特殊的函数集——I型与II型和，他们证明了粗略素数和真实素数在这些和上是等价的。
他们利用了Gowers范数这一工具，这是数学家Timothy Gowers几十年前开发的，用于度量函数或数集的随机或结构化程度。通过Gowers范数，他们证明了粗略素数和真实素数在I型与II型和上足够相似，从而可以将粗略素数代入证明中，而不丢失任何信息。
最终，Green和Sawhney成功证明了Friedlander和Iwaniec的猜想，并扩展了结果，表明其他素数族也存在无穷多个。这项工作不仅为素数的研究提供了新的视角，还展示了Gowers范数在新领域的应用潜力。数学家们希望进一步探索Gowers范数在数论中其他问题上的应用。
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【原文作者】 机器之心
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